Атеология    αθεολογιΑ

Атеистическая философия.   2010.11.29


Теория хаоса.

В последней четверти 20-го века возникла новая математическая дисциплина - теория хаоса. К сфере ее исследования относятся несколько тем, объединяемых тем, что из простейшей структуры вытекает сложное поведение. Сама система математически и физически может быть вполне детерминированной, не иметь фундаментально-случайных элементов и, основное требование к ней - наличие нелинейности. Следует особо подчеркнуть, что хаос в рамках данной теории не равен случайности, внешняя видимая хаотичность решений опирается в группе задач на совершенно однозначно математически описанные уравнения.

Так, классическим примером хаотической системы является система, описываемая уровнением параболы rx(1-x), охваченная обратной связью, т.е. значение x в каждый из моментов времени получается путем подстановки предыдущего x в формулу. Характер поведения величины во времени может значительно меняться. Так при одном значении r величины x могут стремиться к константе, при немного другой - циклически повторяться через 2 периода, при третьей чередоваться через 4 периода, через 8, 16 ... вплоть до неподдающейся сокращенному описанию неповоряющейся апериодичности.

Одной из самых давних задач, содержащих хаос является задача о трех телах под действием гравитации. Поведение двух тел, связанных гравитацией было аналитически описано еще Ньютоном. Аналогичная задача для трех тел, как оказалась, не может быть аналитически решена, хотя поведение тел также полностью детерминированы начальными условиями и тем же самым физическим законом. При просчете задачи же задачи в малых приращениях, например, численными методами (с бесконечной степенью точности) обе задачи одинаково однозначны и полностью предопределены. В приложении к реальным космическим телам, однако, в отличие от абстрактной математики, невозможно оперировать бесконечно малыми приращениями времени и указывать начальные условия с бесконечной точностью. Любая же погрешность в нелинейной системе, охваченной обратной связью может нарастать, быстро перерастая в величины, сравнимые с самой прогнозируемой величиной, после чего неизбежно теряется предсказуемость и дальность предсказания этим методом для физических задач ограничена.

Одной из самых сложных практических задач, содержащих хаос является предсказание погоды. В этой задаче имеется сразу несколько источников проблем: нелинейность систем, описывающих динамику атмосферы, погрешности в знании исходных условий состояния атмосферы, погрешности в задании геометрии поверхности Земли, пространственных различий светопоглощения на разных участках.

Одну из красивейших иллюстраций детерминированного хаоса представляют фрактальные узоры, формируемые, например, множеством Мандельброта. Множество представлено всеми точками плоскости комплексных чисел c, удовлетворяющих условию нахождения величины z в пределах фиксированного расстояния (т.е. переменная не должна бесконечно расти по мере подстановки) от 0 после многократной подстановки в формулу
z новое=z старое2+c

Интуитивно сложно ожидать от столь простого уравнения и критерия принадлежности формирования сложного (и красивого) узора. Однако, в действительности процедура формирует интересную фигуру бесконечной сложности: взяв небольшой участок на границе множества увеличив (выполнив расчет принадлежности множеству с большей детализацией) его, мы обнаружим, не менее сложный узор, взяв далее малый кусочек границы этого "под"-узора и увеличив снова, снова получим не менее сложный (и весьма своеобразный) рисунок. Более того, в некоторых областях увеличенных кусочков можно обнаружить миниатюрные копии исходной фигуры со всеми точкостями детализации. Продолжать увеличения данного узора можно до бесконечности без достижения предела, узор оказывается бесконечной глубины сложности. Помимо геометрической изящности узор множества мандельброта имеет определенную эстетичность.

Что иллюстрирует хаос.

До появления начального понимания хаоса существовало мнение, что сложное поведение требует сложного устройства, принцип "простое (структура) не может вести к сложному (поведению)". Теория хаоса показала ошибочность такого представления.


©2010 Атеология